Question

已知f（x）=x²+2x+1，若?x∈[1，m]，?t∈R使f（x+t）≤x成立．求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：设g（x）=f（x+t）-x=x²+（2t+1）x+（1+t）²，由已知可得?x∈[1，m]，g（x）≤0恒成立，即g（1）≤0且g（m）≤0，先求出t的范围，进而可得m的取值范围．

解答： 解：设g（x）=f（x+t）-x=x²+（2t+1）x+（1+t）²，
由题值?x∈[1，m]，f（x+t）≤x恒成立，
即?x∈[1，m]，g（x）≤0恒成立，
即g（1）≤0且g（m）≤0，
即t²+4t+3≤0，m²+（2t+1）m+（t+1）²≤0，
则t∈[-3，-1]，
当t=-1时，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1；
当t=-3时，得到m²-5m+4≤0，解得1≤m≤4
综上得到：m∈[1，4]，

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，熟练掌握函数的图象和性质，会进行函数恒成立与不等式之间的转化是解答的关键．