Question

已知在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB=BC=2

3

，∠ABC=120°，若异面直线A₁B和AD₁所成的角是90°，试求AA₁．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：连结CD₁，AC，由题意得四边形A₁BCD₁是平行四边形，A₁B∥CD₁，∠AD₁C（或其补角）为A₁B和AD₁所成的角，由此能求出AA₁．

解答： 解：连结CD₁，AC，
由题意得四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁=BC，
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，
∴A₁B∥CD₁，
∴∠AD₁C（或其补角）为A₁B和AD₁所成的角，
∵异面直线A₁B和AD₁所成的角为90°，
∴∠AD₁C=90°，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2

3

，
∠ABC=120°，
∴AC=2

3

sin60°×2=6，
∴AD1=

2

2

AC=3

2

，
∴AA1=

AD12-A1D12

=

(3 2 )2-(2 3 )2

=

6

．

点评：本题考查四棱柱中侧棱长的求法，是中档题，解题时要注意空间能力的培养．