Question

已知函数f（x）=cos²ωx-

3

sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期是π，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的 对 边 分 别 是a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=cos(2ωx+

π

3

)+

1

2

，由周期公式可得ω，可得解析式，由三角函数的性质可得单调递增区间；
（2）由题意和正弦定理可得B=

π

3

，进而可得f(A)=cos(2A+

π

3

)+

1

2

，由A的范围可得．

解答： 解：（1）化简可得f(x)=

1+cos2ωx

2

-

3

2

sin2ωx
=cos(2ωx+

π

3

)+

1

2

，由T=

2π

2ω

=π可得ω=1，
∴f(x)=cos(2x+

π

3

)+

1

2

，
由-π+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，
可解得-

2π

3

+kπ≤x≤-

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为：[-

2π

3

+kπ，-

π

6

+kπ]，k∈Z
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

，∴f(A)=cos(2A+

π

3

)+

1

2

，
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤cos(2A+

π

3

)＜

1

2

，
∴f（A）的 取 值 范 围为：[-

1

2

，1)

点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的单调性和解三角形，属中档题．