Question

（1）将一个长为18cm的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一个三角形的概率是多少？探索一个任意长的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一个三角形的概率是多少？
（2）已知O为正方形ABCD的中心，现在正方形内随机地取一点P，求使△OPA为钝角三角形的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）先设线段分成三段中两段的长度分别为x、y，分别表示出线段随机地折成3段的x，y的约束条件和3段构成三角形的条件，再画出约束条件表示的平面区域，代入几何概型概率计算公式，即可求出构成三角形的概率．
（2）△OPA为钝角三角形的概率为

S△AEF+S半圆EOF+S△BCD

S正方形

．

解答： 解：（1）假设x与y表示三个长度中的两个，因为是长度，
所以应有：x＞0，y＞0和x+y＜18，
即所有x和y值必须在如图所示的以（0，18），（0，0）和（18，0）为顶点的三角形内，
要组成三角形，由组成三角形的条件知，
x和y都小于9，且x+y＞9（如图所示的阴影部分），
又因为阴影部分三角形的面积占大三角形面积的

1

4

，
故能够组成三角形的概率为0.25．
一个任意长的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一个三角形的概率不变，是0.25；
（2）△OPA为钝角三角形的概率为

S△AEF+S半圆EOF+S△BCD

S正方形

=

5

8

+

π

16

．

点评：本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．