Question

已知函数g（x）=log_a（x+1）（a＞0，且a≠1），函数g（x）的图象与函数h（x）的图象关于y轴对称．
（1）试写出函数h（x）的解析式；
（2）设f（x）=g（x）-h（x），判断函数f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的对称性求其解析式；（2）利用函数奇偶性的定义判断；（3）对底数进行讨论．

解答： 解：（1）h（x）=g（-x）=log_a（1-x）…（3分）
（2）f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），函数f（x）的定义域为（-1，1），…（5分）
∵f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1-x）-log_a（1+x）]=-f（x）
故函数f（x）为奇函数；     …（7分）
（3）当0＜a＜1，所以

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，解得，-1＜x＜0…（9分）
当a＞1，所以

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，解得，0＜x＜1…（11分）
综上可知，当a＞1时，0＜x＜1，当0＜a＜1，时-1＜x＜0…（12分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性、对称性、单调性，属于中档题．