Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意x，y∈（0，+∞）都有f（

x

y

）=f（x）-f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证f（1）=0；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若f（2）=1，不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y，则可推出f（1）=f（x）-f（x）=0，问题得证．（2）由可化为f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），结合当x＞1时，f（x）＞0；因此我们要令x₁＞x₂，从而判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）由2=f（2）-f（

1

2

）=f（4）代入不等式，结合f（

x

y

）=f（x）-f（y），将不等式化为f（x（x-3））≤f（4），转化为函数值比较大小，借助函数单调性解不等式．

解答： 解：（1）证明：由任意x，y∈（0，+∞）都有f（

x

y

）=f（x）-f（y）知，
令x=y，则f（1）=f（x）-f（x）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
∵x₁＞x₂＞0，
∴

x1

x2

＞1，
又∵当x＞1时，f（x）＞0．
∴f（

x1

x2

）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0
则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）f（2）=1，令x=1，y=2，
则f（

1

2

）=f（1）-f（2）=-1，
则2=f（2）-f（

1

2

）=f（4）．
∵f（x）-f（

1

x-3

）≤2
∴f（x）-f（

1

x-3

）≤f（4）．
f（x（x-3））≤f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴

x＞0 1 x-3 ＞0 x(x-3)≤4

解得，3＜x≤4．
则不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2的解集为（3，4]．

点评：本题考查了函数性质的应用，有单调性的证明与使用，属于中档题．