Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：立体几何

分析：（1）由∠DEC=90°，可得∠AED+∠BEC=90°，又由∠AED+∠ADE=90°，可得∠BEC=∠ADE，即可证明；
（2）结论：△BEC的周长与m值无关．利用相似三角形的性质、勾股定理即可得出．

解答： （1）证明：∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，
又∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEC=∠ADE，而∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEC．
（2）解：结论：△BEC的周长与m无关．
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得BE=a-m，设AD=x，
∵△ADE∽△BEC，∴

AD

BE

=

AE

BC

=

DE

EC

，即：

x

a-m

=

m

BC

=

a-x

EC

，
解得：BC=

(a-m)m

x

，EC=

(a-m)(a-x)

x

．
∴△BEC的周长=BE+BC+EC=（a-m）+

(a-m)m

x

+

(a-m)(a-x)

x

=（a-m）(1+

m

x

+

a-x

x

)=

a2-m2

x

    ①
∵AD=x，由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x，又AE=m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x²+m²=（a-x）²，
化简整理得：a²-m²=2ax  ②
把②式代入①，得△BEC的周长=BE+BC+EC=

2ax

x

=2a，
∴△BEC的周长与m无关．

点评：本题考查了相似三角形的性质、勾股定理、互余角之间的关系、三角形的周长，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．