Question

定义y=log_（1+x）F（x，y），x＞0，y＞0．
（1）比较F（1，3）与F（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，证明：F（x-1，y）＞F（y-1，x）；
（3）设函数f（x）=F[1，log₂（x³+ax²+bx+1）]的图象为曲线C．曲线C在x₀处的切线的斜率为k，若x₀∈（1，1-a）且存在实数b使得k=-4，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由定义知F（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，由此能比较比较F（1，3）与F（2，3）的大小．
（2）F（x-1，y）=x^y，F（y-1，x）=y^x，要证F（x-1，y）＞F（y-1，x），只要证x^y＞y^x，由此能证明不等式F（x-1，y）＞F（y-1，x）成立．
（3）由题意知：f（x）=x³+ax²+bx+1，且f′（x₀）=k，于是有3x₀²+2ax₀+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由定义知F（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，
∴F（1，3）=（1+1）³=8，F（2，2）=（1+2）²=9，
∴F（1，3）＜f（2，2）．…（3分）
（2）F（x-1，y）=x^y，F（y-1，x）=y^x，
要证F（x-1，y）＞F（y-1，x），只要证x^y＞y^x，
∵x^y＞y^x，
∴ylnx＞xlny，
∴

lnx

x

＞

lny

y

，…（5分）
令h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，
当x＞e时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．
∵e＜x＜y，
∴h（x）＞h（y），即

lnx

x

＞

lny

y

，
∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．…（8分）
（3）由题意知：f（x）=x³+ax²+bx+1，且g′（x₀）=k，
于是有3x₀²+2ax₀+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．
又由定义知log₂（x₀³+ax₀²+bx₀+1）＞0，
即x₀³+ax₀²+bx₀＞0，
∵x₀＞1，
∴x₀²+ax₀＞-b，
∴x₀²+ax₀＞3x₀²+2ax₀+4，
即ax₀＜-2（x₀²+2），
∴a＜-2（x₀+

2

x0

）在x₀∈（1，1-a）有解．…（10分）
设V（x₀）=x₀+

2

x0

，x₀∈（1，1-a），
①当1-a＞

2

，即a＜1-

2

时，V（x₀）=x₀+

2

x0

≥2

2

．
当且仅当x₀=

2

时，V（x₀）min=2

2

，
∴当x₀=

2

时，-2（x₀+

2

x0

）_max=-4

2

，
∴a＜-4

2

．…（12分）
②当1＜1-a≤

2

时，即1-

2

≤a＜0时，V（x0）=x₀+

2

x0

在x₀∈（1，1-a）上递减，
∴x₀+

2

x0

＞1-a+

2

1-a

．
∴a＜-2[（1-a）+

2

1-a

]
整理得：a²-3a+6＜0，无解，…（13分）
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，-4

2

）．…（14分）

点评：本题考查两数大小的比较，考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．