Question

如图，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，O是AC上一点，CO=

9

5

，E，F分别是AB，CD的中点，现把矩形ABCD沿着对角线AC折成一个大小为θ的二面角D′-AC-B．
（Ⅰ）若θ=90°，求证BO⊥AD′；
（Ⅱ）当θ=60°时，求直线EF与平面ABC所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得，AC=5，CO=

9

5

，△ABC∽△BOC，得BO⊥AC，由此能证明BO⊥AD．
（Ⅱ）作FG⊥AC，垂足为G，作EH⊥AC，垂足为H，作EP∥GH，且使得EP=GH，则四边形GHEP为矩形，连接EP，则AC⊥PG，又AC⊥FG，∠FGP=60°，连接EQ，则∠FEQ为EF与平面ABC所成的角，由此能求出直线EF与平面ABC所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由已知条件得，AC=5，CO=

9

5

，
故BC²=CO•AC，
即△ABC∽△BOC，得BO⊥AC，BO?平面ABC，（3分）
θ=90°，即平面ABC⊥平面ADC，且交线为AC
∴BO⊥平面ACD，所以BO⊥AD．（6分）
（Ⅱ）解：作FG⊥AC，垂足为G，作EH⊥AC，垂足为H，
作EP∥GH，且使得EP=GH，
则四边形GHEP为矩形，连接EP．
则AC⊥PG，又AC⊥FG，
∴AC⊥平面GFP，且∠FGP为二面角D-AC-B的平面角，
即∠FGP=60°．（8分）
∴AC⊥FP，又EP∥AC，∴EP⊥FP，
在Rt△CGF中，可得GF=

6

5

，同理EH=

6

5

，
即GP=

6

5

，又∠FGP=60°，∴FP=

6

5

，即△GFP为正三角形，（10分）
又由AC⊥平面GFP得平面ABC⊥平面GFP，且交线为PG，作FQ⊥GP，
∴FQ⊥平面ABC，连接EQ，则∠FEQ为EF与平面ABC所成的角．（12分）
又EP=GH=AC-2CG=5-

16

5

=

9

5

，在Rt△EPF中，
EF=

EP2+FP2

=

81 25 + 36 25

=

3 13

5

，
sin∠FEQ=

FQ

EF

=

3 2 GF

EF

=

39

13

．（14分）

点评：本题主要考查立体几何线面垂直、直线与平面所成的角和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．