Question

已知函数f（x）=

2

sinωx•cos（ωx+

π

4

）+2sin²ωx+

1

2

，直线y=1-

2

2

与f（x）的图象交点之间的最短距离为π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其图象的对称中心；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若∠A是锐角，且f（

A

2

+

π

8

）=

3

2

，c=4，a+b=4

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可得f（x）=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+1，于是易得其对称中心；
（Ⅱ）依题意，易得A=

π

4

，再利用余弦定理，得a²=(4

2

-b)2=b²+16-4

2

b，可求得b，由S_△ABC=

1

2

bcsinA可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+1…3分
由题可知，T=π，2ω=

2π

T

⇒ω=1，
∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+1…5分
对称中心为（

kπ

2

+

π

8

，1），k∈Z…6分
（Ⅱ）∵f（

A

2

+

π

8

）=

3

2

，

2

2

sinA=

1

2

，
∴sinA=

2

2

，又A∈（0，

π

2

），A=

π

4

…9分
∵c=4，a+b=4

2

，由余弦定理得，a²=(4

2

-b)2=b²+16-4

2

b⇒b=2

2

…11分
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2

2

×

2

2

=4…13分

点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的周期性、对称性，考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．