Question

已知函数f（x）=2cos（x+

π

3

）[sin（x+

π

3

）-

3

cos（x+

π

3

）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，

π

6

]，使得m[f（x）+

3

]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；
（2）若对任意x∈[0，

π

6

]，使得m[f（x）+

3

]+2=0恒成立，f（x）+

3

=-

2

m

，进而可得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（x+

π

3

）sin（x+

π

3

）-2

3

cos²（x+

π

3

）
=sin（2x+

2π

3

）-

3

cos（2x+

2π

3

）-

3

=2sin（2x+

2π

3

-

π

3

）-

3

=2sin（2x+

π

3

）-

3

∵A=2，B=-

3

，
故f（x）的值域为[-2-

3

，2-

3

]，
∵ω=2，
故f（x）的最小正周期为π；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
故sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，
此时f（x）+

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[

3

，2]，
由m[f（x）+

3

]+2=0恒成立得：m≠0，
∴f（x）+

3

=-

2

m

，
即-

2

m

∈[

3

，2]，
解得：m∈[-

2 3

3

，-1]，
故实数m的取值范围为：[-

2 3

3

，-1]

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．