Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C（如图2）．

（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BCED；
（Ⅱ）若点P在线段BC上，PB=

5

2

，求直线PA₁与平面A₁BD所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AD=1，AE=2．由余弦定理得DE=

3

．从而AD⊥DE．折叠后有A₁D⊥DE．因为二面角A₁-DE-B是直二面角，所以平面A₁DE⊥平面BCED．由此能证明A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）假设在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°．作PH⊥BD于点H，连结A₁H、A₁P．
∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角．由此能求出在线段BC上存在点，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：因为等边△ABC的边长为3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
所以AD=1，AE=2．
在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

．
因为AD²+DE²=AE²，所以AD⊥DE．
折叠后有A₁D⊥DE．因为二面角A₁-DE-B是直二面角，
所以平面A₁DE⊥平面BCED．又平面A₁DE∩平面BCED=DE，
A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE，所以A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）解：假设在线段BC上存在点P，
使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°．如图，
作PH⊥BD于点H，连结A₁H、A₁P．
由（Ⅰ）有A₁D⊥平面BCED，而PH?平面BCED，
所以PH⊥A₁D．又A₁D∩BD=D，所以PH⊥平面A₁BD．
所以∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角．
设PB=x，（0≤x≤3），则BH=

x

2

，PH=

3

2

x．
在Rt△PA₁H中，∠PA₁H=60°，
所以A1H=

1

2

x，在Rt△A₁DH中，DH=2-

1

2

x．
由A1D2+DH²=A₁H²，得12+(2-

1

2

x)2=(

1

2

x)2．
解得x=

5

2

，满足0≤x≤3，符合题意．
所以在线段BC上存在点，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°，此时PB=

5

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．