Question

已知集合A={x|x＞0}，B={x|x²-（a+b）x+ab＜0，a，b∈R}，D=A∩B，函数f（x）=x³+x²+bx+1
（1）当b=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=b+1，且f（x）在D上有极小值时，求b的取值范围；
（3）在（2）的条件下，不等式f（x）≤1对任意的x∈D恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义，求f（x）的导数，便求出切线的斜率；
（2）通过a，b的关系求出几何D，函数在区间上有极值，则在区间端点处的切线斜率异号，得到不等式求b的范围；
（3）利用（2）的条件，要使f（x）≤1在D上恒成立，只要f（x）_max≤1，∴只要

f(0)≤1 f(b+1)≤1 21 -9 6 ＜b＜0

，解答即可．

解答： 解：（1）f（x）=x³+x²+x+1，f′（x）=3x²+2x+1，
∴x=1时，f′（1）=6，f（1）=4，
∴f（x）在（1，f（1））的切线方程为y-4=6（x-1），整理得6x-y-2=0．
（2）当-1＜b＜0，D集合为（0，b+1），f（x）在D上有极小值，f′（0）＜0且f′（b+1）＞0，则

21 -9

6

＜b＜0；
当b≥0时，D集合为（b，b+1），f（x）在D上有极小值，

f′(b+1)＞0 f′(b)＜0

，无解，
∴

21 -9

6

＜b＜0；

（3）由（2）可知，要使f（x）≤1在D上恒成立，只要f（x）_max≤1，∴只要

f(0)≤1 f(b+1)≤1 21 -9 6 ＜b＜0

，解得

21 -9

6

＜b≤

2

-2．

点评：本题考查了利用导数求切线的斜率以及利用导数求参数范围、解决恒成立问题．