Question

已知f（x）的定义域为R，已知f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），且f（2）=f（-1）≠0，求g（-1）+g（1）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令x=y，则f（0）=0，令y=0则可推出g（0）=1．令x=0，则可得f（-y）=-f（y），令y=-x，则f（2x）=f（x）[g（-x）+g（x）]，再令x=1即可得到答案．

解答： 解：令x=y，则f（0）=f（x）g（x）-g（x）f（x），即f（0）=0，
令y=0则f（x）=f（x）g（0）-g（x）f（0）=f（x）g（0），
若g（0）=0，则f（x）=0不成立，
若g（0）≠0，则g（0）=1．
令x=0，则f（-y）=f（0）g（y）-g（0）f（y）=-f（y），
令y=-x，则f（2x）=f（x）g（-x）-g（x）f（-x）=f（x）g（-x）+f（x）g（x）=f（x）[g（-x）+g（x）]
令x=1，则f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]，
又f（2）=f（-1）≠0，则f（-1）=f（1）[g（-1）+g（1）]=-f（1），
故g（-1）+g（1）]=-1．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．