Question

已知两个动点A、B和一个定点M（x₀，y₀）均在抛物线y²=2px（p＞0）上，设F为此抛物线的焦点，Q为其对称轴上一点，若（

QA

+

1

2

AB

）•

AB

=0，且|

FA

|，|

FM

|，|

FB

|成等差数列．
（1）求

OQ

的坐标；
（2）若|

OQ

|=3，|

FM

|=2，求|

AB

|的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用焦半径公式及其|

FA

|，|

FM

|，|

FB

|成等差数列可得：2|

FM

|=|

FB

|+|

FA

|，得到2x₀=x₁+x₂．由（

QA

+

1

2

AB

）•

AB

=0，可得(

QA

+

QB

)•

AB

=0，设Q（m，0），得到（x₁-m+x₂-m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，可得x₁+x₂-2m+2p=0．可得m=x₀+p．
（2）由|

OQ

|=3，可得p+x₀=3．利用|

FM

|=2，可得x0+

p

2

=2，联立解得x₀=1，p=2．y²=4x．x₁+x₂=2．取M（1，2）．由QM⊥AB．可得k_QMk_AB=-1，k_AB=1=

y1-y2

x1-x2

．|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(4-4x1x2)

．
由0≤x₁x₂＜1即可得出．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则|FA|=x1+

p

2

，|FB|=x2+

p

2

，|FM|=x0+

p

2

．
∵|

FA

|，|

FM

|，|

FB

|成等差数列．
∴2|

FM

|=|

FB

|+|

FA

|，
∴2(x0+

p

2

)=x1+

p

2

+x2+

p

2

，
∴2x₀=x₁+x₂．
∵（

QA

+

1

2

AB

）•

AB

=0，
∴(

QA

+

QB

)•

AB

=0，
设Q（m，0），则（x₁-m+x₂-m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+

y

2 2

-

y

2 1

=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+2p（x₂-x₁）=0，
∵x₁≠x₂，
∴x₁+x₂-2m+2p=0．
∴m=x₀+p
∴Q（p+x₀，0）．
∴

OQ

=（p+x₀，0）．
（2）∵|

OQ

|=3，∴p+x₀=3．
∵|

FM

|=2，∴x0+

p

2

=2，
联立解得x₀=1，p=2．
∴y²=4x．x₁+x₂=2．
Q（3，0），取M（1，2）．
k_QM=-1．
由（1）可得QM⊥AB．
k_QMk_AB=-1，
∴k_AB=1=

y1-y2

x1-x2

．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(4-4x1x2)

．
∵x₁，x₂≥0，x₁+x₂=2＞2

x1x2

，
∴0≤x₁x₂＜1．
∴0＜|AB|≤2

2

．
∴0＜|AB|≤2

2

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量的坐标运算、数量积的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、弦长公式、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．