Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log₄（2^x-1-

4

3

a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用偶函数的定义即可得出；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
?函数h（x）=f（x）-g（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x-log₄（2^x-1-

4

3

a）=log4

4x+1

2x-1- 4 3 a

-

1

2

x只有一个零点．
由h（x）=0，化为

4

3

a=-(

2x

2

+

1

2x

)，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），∴log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，
化为log4

1+4x

4x

×

1

1+4x

=2kx，化为（2k+1）x=0，
此式对于任意实数x都成立，∴2k+1=0，解得k=-

1

2

．
经过验证满足条件．
（2）∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
∴函数h（x）=f（x）-g（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x-log₄（2^x-1-

4

3

a）=log4

4x+1

2x-1- 4 3 a

-

1

2

x只有一个零点．
由h（x）=0，可得

4x+1

2x-1- 4 3 a

=4

1

2

x，化为

4

3

a=-(

2x

2

+

1

2x

)≤-2

2x 2 • 1 2x

=-

2

，当且仅当x=0时取等号．
∴a≤-

3 2

4

．
∴实数a的取值范围是a≤-

3 2

4

．

点评：本题考查了函数的零点、奇偶性、指数运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．