Question

已知向量

a

，

b

，

c

满足

a

+

b

+

c

=0，且

a

与

c

的夹角为60°，|

b

|=

3

|

a

|，则

a

与

b

的夹角为

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：设△ABC中，

BC

=

a

，

CA

=

b

，

AB

=

c

，令|

BC

|=1，则|

CA

|=

3

，如图：则∠ABC=120°，θ为所求．再由正弦定理可得

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

，求得sin（θ-120°）=

1

2

，可得θ的值．

解答： 解：∵向量

a

，

b

，

c

满足

a

+

b

+

c

=0，且

a

与

c

的夹角为60°，
设△ABC中，

BC

=

a

，

CA

=

b

，

AB

=

c

，令|

BC

|=1，则|

CA

|=

3

，
如图所示：
可得∠ABC=120°，θ为所求．
△ABC中，由正弦定理可得

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

，即

3

sin120°

=

1

sin[180°-120°-(180°-θ)]

，
求得sin（θ-120°）=

1

2

，∴θ=150°，
故答案为：150°．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，正弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．