Question

边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，E为线段CD上的中点，以BE为折痕，将△ACE折起，使得二面角C-BE-C成θ角（如图）
（Ⅰ）当θ在（0，π）内变化时，直线AD与平面BCE是否会平行？请说明理由；
（Ⅱ）若θ=90°，求直线CA与平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）当θ在（0，π）内变化时，假设直线AD与平面BC′E平行，平面BC′E∩平面ABCD=CE，从而AD∥CE，与题设矛盾．从而直线AD与平面BCE不会平行．
（Ⅱ）连结BD，由已知得二面角C′-BE-C的平面角是∠CEC′，即∠CEC′=90°，∠AC′B是直线C′A与平面BC′E所成角的平面角，由此能求出直线C′A与平面BC′E所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）当θ在（0，π）内变化时，直线AD与平面BCE是不会平行．
理由如下：
假设直线AD与平面BC′E平行，平面BC′E∩平面ABCD=CE，
AD?平面ABCD，∴AD∥CE，与题设矛盾．
故假设不成立，
∴直线AD与平面BCE是不会平行．…（4分）
（Ⅱ）连结BD，∵CD=CB，∠BCD=60°，∴△BCD是正三角形，
又E是CD中点，故BE⊥CE，从而BE⊥CE．
∴二面角C′-BE-C的平面角是∠CEC′，即∠CEC′=90°．…（8分）
C′E⊥CE，BE⊥C′E，BE∩CE=E，C′E⊥面ABCD．
AB?面ABCD，∴AB⊥C′E，又AB⊥BE，BE∩C′E=E，
∴AB⊥面C′EB，即点B是点A在面C′EB上投影，
∴∠AC′B是直线C′A与平面BC′E所成角的平面角．…（12分）
tan∠AC′B=

AB

BC′

=1，sin∠AC′B=

2

2

．
∴直线C′A与平面BC′E所成角的正弦值为

2

2

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面是否平行的判断与证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．