Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=

5

，sin（2A-

π

6

）-2sin²A=0．
（1）求A；
（2）设△ABC的面积为S，S=

BA

•

BC

，求b的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用已知的三角等式变形得到sin（2A+

π

6

）=

1

2

，得A=

π

6

；
（2）利用向量的数量积运算以及三角形的面积公式得到sinB和cosB的关系，求出sinB，结合正弦定理求出b．

解答： 解：（1）由已知sin（2A-

π

6

）-2sin²A=0，
∴

3

2

sin2A-

1

2

cos2A+cos2A=1，
∴

3

2

sin2A+

1

2

cos2A=1，
得sin（2A+

π

6

）=1，
A是三角形的内角，∴2A+

π

6

=

π

2

，解得A=

π

6

；
（2）由S=

BA

•

BC

，=accosB=

1

2

acsinB，
∴cosB=

1

2

sinB，∴sinB=

2 5

5

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得到b=

a×sinB

sinA

=

5 × 2 5 5

1 2

=4．

点评：本题考查了三角恒等变形、向量的数量积运算以及正弦定理的运用．