Question

已知函数f（x）=

2 x+2 +a，x≤0 f(x-1)+1，x＞0

，若对任意的a∈（-3，+∞），关于x的方程f（x）=kx都有3个不同的根，则k等于（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据a取值的任意性，利用特殊值法，结合数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵对任意的a∈（-3，+∞），关于x的方程f（x）=kx都有3个不同的根，
∴不妨设a=0，
则x≤0时，f（x）=

2

x+2

，
若0＜x≤1，则-1＜x-1≤0，则f（x）=f（x-1）+1=

2

x+1

+1，
若1＜x≤2，则0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=

2

x

+2，
若2＜x≤3，则1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=

2

x-1

+3，
若3＜x≤4，则2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=

2

x-2

+4，
…
作出f（x）的图象如图：
当k=1时，f（x）与y=x只有一个交点，不满足条件，
当k=2时，f（x）与y=2x有四个交点，不满足条件，
当k=3时，f（x）与y=3x有三个交点，满足条件，
当k=4时，f（x）与y=4x只有两个交点，不满足条件，
故k=3，
故选：C．

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．本题综合性较强，难度较大，如果正面求解，一般无法寻找突破口．