Question

已知函数f（x）满足：①当0≤x≤2时，f（x）=（x-1）²，②?x∈[0，8]，f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

）．若方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有偶数个根，则正数M的取值范围是（　　）

• A、0＜M≤

  1

  3

• B、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或2
• C、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或

  1

  2

• D、0＜M≤

  1

  3

  或M=1或

  1

  2

  或log₆2

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）和y=Mlog₂x的图象交点个数，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上根的个数，结合已知分析函数f（x）的图象和性质，分类讨论并数形结合，可得答案．

解答： 解：∵?x∈[0，8]，f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

）．
∴?x∈[0，8]，f（x）=f（x+2），即在[0，8]上函数以2为周期，呈周期性变化，
由当0≤x≤2时，f（x）=（x-1）²，可得：
函数f（x）在[0，8]上图象如下图所示：

当0＜M≤

1

3

时，函数f（x）和y=Mlog₂x的图象如下图所示：

此时两个函数图象共有8个交点，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有8个根，满足条件；
同理：
当

1

3

＜M＜log₆2时，函数f（x）和y=Mlog₂x的图象有7个交点，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有7个根，不满足条件；
当M=log₆2时，函数f（x）和y=Mlog₂x的图象有6个交点，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有6个根，满足条件；
当log₆2＜M＜

1

2

时，函数f（x）和y=Mlog₂x的图象有5个交点，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有5个根，不满足条件；
当M=

1

2

时，函数f（x）和y=Mlog₂x的图象有4个交点，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有4个根，满足条件；
当

1

2

＜M＜1时，函数f（x）和y=Mlog₂x的图象有3个交点，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有3个根，不满足条件；
当M=1时，函数f（x）和y=Mlog₂x的图象有2个交点，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有2个根，满足条件；
当M＞1时，函数f（x）和y=Mlog₂x的图象有1个交点，即方程f（x）=Mlog₂x在[0，8]上有1个根，不满足条件；
综上，满足条件的正数M的取值范围是0＜M≤

1

3

或M=1或

1

2

或log₆2，
故选：D

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点与方程根的关系，函数的周期性，函数的伸缩变换，是函数图象与性质是综合应用，属于难题．