Question

已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为M，且M⊆[a，b]；
②对任意不相等的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（　　）

• A、没有实数根
• B、有且仅有一个实数根
• C、恰有两个不等的实数根
• D、实数根的个数无法确定

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由题意设g（x）=f（x）-x，已知区间[a，b]判断两个端点与0的关系，根据根的存在定理进行求解．

解答： 解：设g（x）=f（x）-x．
∵f（x）的值域M满足M⊆[a，b]；
∴g（a）=f（a）-a≥0，
g（b）=f（b）-b≤0，
所以g（x）=0在[a，b]有实数根，
若有两个不同的实数根x，y，
则f（x）=x，f（y）=y，得f（x）-f（y）=x-y，
这与已知条件|f（x）-f（y）|＜|x-y|相矛盾．
故选B．

点评：此题考查根的存在性及根的个数判断，比较简单是一道基础题．