Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为F（0，-2

2

），对应的准线方程为y=-

9 2

4

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M，N，且使线段MN恰好被直线x=-

1

2

平分？若存在，求l的倾斜角θ的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，从而求出a，b，c，从而求椭圆的方程；
（Ⅱ）设存在直线l：y=kx+b．故椭圆交于M，N，线段MN中点为P（x₀，y₀）；从而求l的倾斜角θ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1；
由题意c=2

2

，

a2

2 2

=

9 2

4

⇒a2=9，b2=1．
∴椭圆方程为x2+

y2

9

=1
（Ⅱ）设存在直线l：y=kx+b．故椭圆交于M，N，线段MN中点为P（x₀，y₀）．
由

y=kx+b 9x2+y2=1

⇒(9+k2)x2+2kbx+b2-9=0
则判别式△=4k²b²-4（9+k²）（b²-9）=-36（b²-k²-9）＞0
得  b²-k²-9＜0①
又

x1+x2

2

=-

kb

9+k2

=-

1

2

⇒b=

9+k2

2k

．代入①
解得 k＞

3

或k＜-

3

，
∴θ∈(

π

3

，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

)．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的关系应用，属于基础题．