Question

已知数列{a_n}：a₁，a₂，a₃，…，a_n，如果数列{b_n}：b₁，b₂，b₃，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…n，则称{b_n}为{a_n}的“衍生数列”．若数列{a_n}：a₁，a₂，a₃，a₄，的“衍生数列”是5，-2，7，2，则{a_n}为

 

；若n为偶数，且{a_n}的“衍生数列”是{b_n}，则{b_n}的“衍生数列”是

 

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得

b1=a4=5 b2=a1+a2-5=-2 b3=a2+a3+2=7 b4=a3+5-7=2

，由此能求出{a_n}为2，1，4，5；由已知猜想b_i=ai+(-1)i(a1-an)，再用数学归纳法进行证明，从而得到{b_n}的“衍生数列”是{a_n}．

解答： 解：由已知得

b1=a4=5 b2=a1+a2-5=-2 b3=a2+a3+2=7 b4=a3+5-7=2

，
解得a₁=2，a₂=1，a₃=4，a₄=5，
∴{a_n}为2，1，4，5．
由已知，b₁=a₁-（a₁-a_n），
b₂=a₁+a₂-b₁=a₂+（a₁-a_n），
因此猜想b_i=ai+(-1)i(a1-an)，
①当n=1时，b₁=a₁-（a₁-a_n），猜想成立；
②假设n=k（k∈N^*）时，bk=ak+(-1)k(a1-an)，
当i=k+1时，b_k+1=a_k+a_k+1-b_k，
=ak+ak+1-[ak+(-1)k(a1-an)]
=ak+ak+1-ak-(-1)k(a1-an)
=an+1+(-1)k+1(a1-an)，
∴i=k+1时，猜想成立，
由①②知，对于任意正整数i，有bi=ai+(-1)i(a1-an)．
∴{b_n}的“衍生数列”是{a_n}．
故答案为：2，1，4，5；{a_n}．

点评：本题考查衍生数列的求法和应用，是中档题，解题时要认真审题，注意合理猜想和数学归纳法的合理运用．