Question

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1），其中f（x）=x²-4x+2，数列{a_n}前n项和存在最小值．
（1）求通项公式a_n
（2）若b_n=（

2

） an，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于f（x）=x²-4x+2，可得a₁=f（x+1）=x²-2x-1，a₂=0，a₃=f（x-1）=x²-6x+7，又数列{a_n}是等差数列，a₁+a₃=2a₂，解出即可；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-4x+2，
∴a₁=f（x+1）=（x+1）²-4（x+1）+2=x²-2x-1，
a₂=0，a₃=f（x-1）=（x-1）²-4（x-1）+2=x²-6x+7，
又数列{a_n}是等差数列，
∴a₁+a₃=2a₂，
∴（x²-2x-1）+（x²-6x+7）=0，
∴x²-4x+3=0，
解之得：x=1或3，
当x=1时，a₁=-2，此时公差d=2，
当x=3时，a₁=2，公差d=-2，此时数列{a_n}前n项和不存在最小值，故舍去．
∴a_n=-2+2（n-1）=2n-4．
（2）由（1）知b_n=（

2

） an=2^n-2．
∴a_nb_n=（2n-4）•2^n-2．
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
2S_n=a₁b₂+a₂b₃+…+a_n-1b_n+a_nb_n+1，
∴-S_n=a₁b₂+（a₂-a₁）b₂+…+（a_n-a_n-1）b_n-a_nb_n+1
=a₁b₁+2（b₂+b₃+…+b_n）-a_nb_n+1
=-2×

1

2

+2×

2n-1-1

2-1

-（2n-4）•2^n-1
=3+（n-3）•2ⁿ．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．