Question

20．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=2，直线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C交于点O和P，与直线l交于点Q，求PQ的长．

Answer 1

分析 （I）由曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数可得曲线的普通方程：（x-2）²+y²=4，展开把互化公式代入可得极坐标方程．
（II）把直线θ=$\frac{π}{3}$代入直线l的极坐标方程可得：ρ₁．把直线θ=$\frac{π}{3}$代入曲线C的极坐标方程可得：ρ₂．可得|PQ|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（I）由曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数可得曲线的普通方程：（x-2）²+y²=4，展开为：x²+y²-4x=0，把互化公式代入可得：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（II）把直线θ=$\frac{π}{3}$代入直线l的极坐标方程可得：ρ₁=$\frac{2}{cos\frac{2π}{3}}$=-4．
把直线θ=$\frac{π}{3}$代入曲线C的极坐标方程可得：ρ₂=4cos$\frac{π}{3}$=2．
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=6．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．