Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的两个焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），点(3，

7

)在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知Q（0，2），P为双曲线C上的动点，点M满足

QM

=

MP

，求动点M的轨迹方程；
（3）过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，记O为坐标原点，若△OEF的面积为2

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），将点（3，

7

）代入上式，能求出双曲线方程．
（2）设M（x，y）由题意M为线段PQ的中点，则P（2x，2y-2），由此能得到动点M的轨迹方程．
（3）设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，所以

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，由此能求出满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=

2

x+2和y=-

2

x+2．

解答：解：（1）依题意，由a²+b²=4，
得双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），
将点（3，

7

）代入上式，得

9

a2

-

7

4-a2

=1．
解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求双曲线方程为

x2

2

-

y2

2

=1．…（4分）
（2）设M（x，y），
∵点M满足

QM

=

MP

，
∴M为线段PQ的中点，
∵Q （0，2），
∴P（2x，2y-2），…（6分）
把点P（2x，2y-2）代入双曲线方程为

x2

2

-

y2

2

=1，
得动点M的轨迹方程：2x²-2（y-1）²=1．…．（8分）
（3）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，
代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k2)＞0

，
∴k∈（-

3

，-1）∪（1，

3

）．…（10分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则由①式得x₁+x₂=

4k

1-k2

，x₁x₂=-

6

1-k2

，
于是|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

，
而原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

，
∴S_△OEF=

1

2

d•|EF|
=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．…（13分）
若S_△OEF=2

2

，
即

2 2 3-k2

|1-k2|

=2

2

，
∴k⁴-k²-2=0，
解得k=±

2

，
满足②．故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为y=

2

x+2和y=-

2

x+2．…（16分）

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是计算量大，容易出错．