Question

11．已知f（x）=e^x-1-ax．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性
（2）若对于任意的实数x，都有f（x）≥1-a，求a的值；
（3）设g（x）=e^x-1+$\frac{1}{2}$x²-2x+m，对任意实数x，都有g（x）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的最小值，得到关于a的方程，解出即可；
（3）问题转化为m＞2x-e^x-1-$\frac{1}{2}$x²在R恒成立，令h（x）=2x-e^x-1-$\frac{1}{2}$x²，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-1-ax，f′（x）=e^x-1-a，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1+lna，
令f′（x）＜0，解得：x＜1+lna，
故f（x）在（-∞，1+lna）递减，在（1+lna，+∞）递增；
（2）由（1）a＞0时，f（x）_min=f（1+lna）=-alna，
故-alna=1-a，解得：a=1；
（3）若对任意实数x，都有g（x）＞0，
则m＞2x-e^x-1-$\frac{1}{2}$x²在R恒成立，
令h（x）=2x-e^x-1-$\frac{1}{2}$x²，
则h′（x）=2-e^x-1-x，h″（x）=-e^x-1-1＜0，
故h′（x）在R递减，而h′（1）=0，
故x∈（-∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
故h（x）_max=h（0）=-$\frac{1}{e}$，
故m＞-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，是一道中档题．