【题目】已知函数f(x)= (x>0).
(1)试判断函数f(x)在(0,+∞)上单调性并证明你的结论;
(2)若f(x)> 恒成立,求整数k的最大值;
(3)求证:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3 .
【答案】
(1)解:∵f(x)= (x>0),
∴f′(x)= [
]=
[
]
∵x>0,∴x2>0, ,ln(x+1)>0,∴f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数
(2)解:f(x)> 恒成立,即h(x)=
>k恒成立,
即h(x)的最小值大于k.
而h′(x)= ,令g(x)=x﹣1﹣ln(x+1)(x>0),
则g′(x)= ,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(2)=1﹣ln3<0,g(3)=2﹣2ln2>0,
∴g(x)=0存在唯一实根a,且满足a∈(2,3),a=1+ln(a+1)
当x>a时,g(x)>0,h′(x)>0,当0<x<a时,g(x)<0,h′(x)<0,
∴h(x)min=h(a)= =a+1∈(3,4)
故正整数k的最大值是3
(3)解:由(Ⅱ)知 (x>0)
∴ln(x+1)> ﹣1=2﹣
>2﹣
令x=n(n+1)(n∈N*),则ln[1+n(n+1)]>2﹣ ,
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
>(2﹣ )+(2﹣
)+…+[2﹣
]
=2n﹣3[ ]
=2n﹣3(1﹣ )=2n﹣3+
>2n﹣3
∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3
【解析】(1)对函数f(x)求导数,可判f′(x)<0,进而可得单调性;(2)问题转化为h(x)= >k恒成立,通过构造函数可得h(x)min∈(3,4),进而可得k值;(3)由(Ⅱ)知
(x>0),可得ln(x+1)>2﹣
,令x=n(n+1)(n∈N*),一系列式子相加,由裂项相消法可得ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>2n﹣3,进而可得答案.
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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=DC= AB=
,平面PBC⊥平面ABCD.
(1)求证:AC⊥PB;
(2)若PB=PC= ,问在侧棱PB上是否存在一点M,使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,cos2C+2 cosC+2=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b= a,△ABC的面积为
sinAsinB,求sinA及c的值.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和
个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球
B. 天气预报“明天降水概率”,是指明天有
的时间会下雨
C. 某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票张,一定会中奖
D. 连续掷一枚均匀硬币,若次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上
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【题目】若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P、Q都在函数y=f(x)的图象上;②P、Q关于原点对称,则对称点(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).则下列函数中,恰有两个“伙伴点组”的函数是(填空写所有正确选项的序号)
①y= ;②y=
;③y=
;④y=
.
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【题目】设函数 .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其图象上任意一点P(x0 , y0)处切线的斜率
恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=2,试求f(x)在区间 上的最大值.
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【题目】甲乙两人各有相同的小球10个,在每人的10个小球中都有5个标有数字1,3个标有数字2,2个标有数字3。两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个,规定:若抽取的两个小球上的数字相同,则甲获胜,否则乙获胜,求乙获胜的概率。
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【题目】已知函数f(x)= (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )
A.(0, ]
B.[ ,
]
C.[ ,
]∪{
}
D.[ ,
)∪{
}
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