Question

如图，设F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，MN为椭圆的长轴，|MN|=8，焦距为2c，对于点P（-

a2

c

，0）有|PM|=2|MF|
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，得

a2

c

-a=2（a-c），由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0，满足题意．当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程得（3m²+4）y²-48my+144=0，由k_AF+k_BF=0，得到∠AFM=∠BFN．
故恒有∠AFM=∠BFN．

解答：解：（Ⅰ）解：（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴

a2

c

-a=2（a-c）
∴a²-ac=2ac-2c²，
∴2e²-3e+1=0，
解得e=

1

2

或e=1（舍去）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．
当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得
（3m²+4）y²-48my+144=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+4

，
∴k_AF+k_BF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

my1-6

+

y2

my2-6

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(my2-6)

=

288m 3m2+4 - 288m 3m2+4

(my1-6)(my2-6)

=0
∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN  综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．

点评：本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．