Question

10．已知数列{a_n}满足：S_n=n-a_n（n=1，2，3，…）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）求证：数列{a_n-1}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）代入即可求出a₁、a₂、a₃的值；
（2）通过S_n+a_n=n与S_n+1+a_n+1=n+1作差、整理得2a_n+1-a_n=1，变形可知a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），进而可知数列{a_n-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．

解答 解：（1）a₁=S₁=1-a₁，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
∵S₂=a₁+a₂=2-a₂，
∴a₂=$\frac{3}{4}$，
∵S₃=a₁+a₂+a₃=3-a₃，
∴a₃=$\frac{7}{8}$，
（2）∵S_n=n-a_n，
∴S_n+1=n+1-a_n+1，
两式相减得：2a_n+1-a_n=1，
整理得：a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
∵a₁-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．

点评 本题考查等比数列的判定，注意解题方法的积累，属于中档题．