Question

18．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{8}{x}$，x∈[2，4]．
（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0，求f（x）的最大值h（a）．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，讨论当3≤x≤4时，当2≤x＜3时，运用函数的导数，可得单调性，进而得到单调区间；
（2）讨论a的范围，当a＞4时，当a＜2时，当2≤x≤a≤1+2$\sqrt{2}$时，当1+2$\sqrt{2}$＜a≤4时，去掉绝对值，由喊话说的单调性可得最大值．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=|x-3|-$\frac{8}{x}$，x∈[2，4]，
当3≤x≤4时，f（x）=x-$\frac{8}{x}$-3的导数为f′（x）=1+$\frac{8}{{x}^{2}}$＞0，f（x）递增；
当2≤x＜3时，f（x）=3-x-$\frac{8}{x}$的导数为f′（x）=-1+$\frac{8}{{x}^{2}}$，
当2$≤x＜2\sqrt{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当2$\sqrt{2}$＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）的增区间为（2，2$\sqrt{2}$），（3，4），减区间为（2$\sqrt{2}$，3）；
（2）当a＞4时，f（x）=a-x-$\frac{8}{x}$在（2，2$\sqrt{2}$）递增，在（2$\sqrt{2}$，4）递减，
即有最大值为f（2$\sqrt{2}$）=a-4$\sqrt{2}$；
当a＜2时，f（x）=x-$\frac{8}{x}$-a在[2，4]递增，即有最大值为f（4）=2-a；
当2≤a≤4时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{8}{x}-a，x≥a}\\{a-x-\frac{8}{x}，x＜a}\end{array}\right.$，
当2≤x≤a≤1+2$\sqrt{2}$时，f（x）递增，
即有最大值为f（4）=4-2-a=2-a；
当1+2$\sqrt{2}$＜a≤4时，2-a＜a-4$\sqrt{2}$，则最大值为a-4$\sqrt{2}$；
综上可得，当a＞4时，f（x）的最大值为a-4$\sqrt{2}$；
当a＜2时，f（x）的最大值为2-a；
当2≤a≤1+2$\sqrt{2}$时，f（x）的最大值为2-a；
当1+2$\sqrt{2}$＜a≤4时，f（x）的最大值为a-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查含绝对值函数的单调区间和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．