Question

13．若函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，则f（3）+f（4）+…+f（2013）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）=0．

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，得到f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，由此能求出f（3）+f（4）+…+f（2013）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）的值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}+\frac{\frac{1}{{x}^{2}}-1}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}+\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$=0，
∴f（3）+f（4）+…+f（2013）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）
=[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+[f（4）+f（$\frac{1}{4}$）]+…+[f（2013）+f（$\frac{1}{2013}$）]
=0．
故答案为：0．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0．