Question

6．（1）已知A={x|0＜x＜5，x∈N}，B={x|x-a≥0}，若A?B，求实数a的取值范围．
（2）若命题：如果p：A={x|y=$\sqrt{x-2}$}成立，则q：B={y|y≥1+a}成立．若原命题为真命题，且其逆命题为假命题，求实数a的取值范围
（3）模仿问题（2）并写出一个不同于（2）的命题，并解答．

Answer 1

分析 （1）化简A={x|0＜x＜5，x∈N}={1，2，3，4}，B={x|x-a≥0}=[a，+∞），利用A?B，可得a≤1，即可得出．
（2）如果p：A={x|y=$\sqrt{x-2}$}成立，即A=[2，+∞），则q：B={y|y≥1+a}成立．利用条件：若原命题为真命题，且其逆命题为假命题，则1+a＞2，解出即可得出．
（3）若命题：如果p：A={x|y=$\sqrt{x-3}$}成立，则q：B={y|y≥2+a}成立．若原命题为真命题，且其逆命题为假命题，求实数a的取值范围．模仿问题（2）解出即可．

解答 解：（1）∵A={x|0＜x＜5，x∈N}={1，2，3，4}，B={x|x-a≥0}=[a，+∞），
∵A?B，∴a≤1，因此实数a的取值范围是（-∞，1]．
（2）如果p：A={x|y=$\sqrt{x-2}$}成立，即A=[2，+∞），则q：B={y|y≥1+a}成立．
若原命题为真命题，且其逆命题为假命题，则1+a＞2，解得a＞1．∴实数a的取值范围是（1，+∞）．
（3）若命题：如果p：A={x|y=$\sqrt{x-3}$}成立，
则q：B={y|y≥2+a}成立．若原命题为真命题，且其逆命题为假命题，求实数a的取值范围．
由于A=[3，+∞），原命题为真命题，且其逆命题为假命题，∴a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了集合的运算及其性质、命题之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．