Question

15．已知x，y∈R⁺，2x+8y-xy=0，求x+y的最小值．

Answer 1

分析 由2x+8y-xy=0得$\frac{8}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，利用1的代换，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：由2x+8y-xy=0得2x+8y=xy，
即$\frac{2x+8y}{xy}$=$\frac{8}{x}$+$\frac{2}{y}$=1．
则x+y=（x+y）（$\frac{8}{x}$+$\frac{2}{y}$）=8+2+$\frac{8y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥10+2$\sqrt{\frac{8y}{x}•\frac{2x}{y}}$=10+2$\sqrt{16}$=10+8=18，
当且仅当$\frac{8y}{x}$=$\frac{2x}{y}$，即x=2y即x=12，y=6时取等号，
即x+y的最小值为18．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换 是解决本题的关键．