Question

5．己知a∈R，函数f（x）=ax²-21nx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在a的值，使得方程f（x））=3有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-2}{x}$，x＞0，分a≤0和a＞0两类分别求得导数的正负情况，进而可得单调性；
（Ⅱ）结合①与②可得出函数的单调性与极值；若使得方程f（x）=3有两个不等的实数根，只要极小值小于3即可，列出不等式，求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-2}{x}$，x＞0
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{a}}{a}$．
当x∈（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）时，f′（x）＜0，当x∈（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调减区间是（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）；单调增区间是（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）存在a∈（0，e²），使得方程f（x）=3有两个不等的实数根．
理由如下：
由①可知当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
方程f（x）=3不可能有两个不等的实数根；                                 
由②得，函数f（x）的单调减区间是（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）；单调增区间是（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞），
使得方程f（x）=3有两个不等的实数根，等价于函数f（x）的极小值f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）＜3，
即f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）=1+lna＜3，解得0＜a＜e²，
所以a的取值范围是（0，e²）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及求函数的单调区间及极值，以及函数的零点个数问题，属中档题．