Question

15．函数y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{x}$的值域为{y|y≥2$\sqrt{3}$-1，或y≤-2$\sqrt{3}$-1}．

Answer 1

分析 根据分式函数的性质，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{x}$=x+$\frac{3}{x}$-1，
则函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
若x＞0，则y=x+$\frac{3}{x}$-1≥2$\sqrt{x•\frac{3}{x}}-1$=2$\sqrt{3}$-1，当且仅当x=$\frac{3}{x}$，即x=$\sqrt{3}$时取等号，
若x＜0，则y=x+$\frac{3}{x}$-1≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{3}{-x}}$-1=-2$\sqrt{3}$-1，当且仅当-x=-$\frac{3}{x}$，即x=-$\sqrt{3}$时取等号，
综上y≥2$\sqrt{3}$-1，或y≤-2$\sqrt{3}$-1，
即函数的值域为{y|y≥2$\sqrt{3}$-1，或y≤-2$\sqrt{3}$-1}
故答案为：{y|y≥2$\sqrt{3}$-1，或y≤-2$\sqrt{3}$-1}

点评 本题主要考查函数值域的求解，根据分式函数的性质，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．