Question

20．若f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称[a，b]为f（x）的保值区间，试探索g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x≥1}\\{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$是否存在保值区间？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 函数g（x）在[a，b]上的单调性不确定，故分为三种情况进行讨论，①若1≥b＞a＞0，②若b＞a＞1，③若b＞1≥a＞0，前两种情况单调性确定，最值可求，解方程组可求a，b，第三种情况可求最小值为0，不合题意．

解答 解：函数不存在形如[a，b]的保值区间．
理由：若存在实数a、b使得函数g（x）有形如[a，b]的保值区间，则a＞0，
∵g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x≥1}\\{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
①若1≥b＞a＞0，
则g（x）=$\frac{1}{x}$-1在[a，b]上单调递减，
最小值g（b），最大值g（a）
即有g（b）=a，即$\frac{1}{b}$-1=a，可得1-b=ab，
g（a）=b，即$\frac{1}{a}$-1=b，即1-a=ab，
两式相减得a=b，与题意不符；
②若b＞a＞1，
则g（x）=1-$\frac{1}{x}$在[a，b]上单调递增，
即有最小值g（a） 最大值g（b），
g（a）=a，1-$\frac{1}{a}$=a，即a-1=a²
g（b）=b，1-$\frac{1}{b}$=b，即b-1=b²
可知a，b是方程x-1=x²的两根，
x²-x+1=0，△=-3＜0，无解；
③若b＞1≥a＞0，
则g（x）=|1-$\frac{1}{x}$|在[a，1]上单调递减，在[1，b]上单调递增，
最小值g（1），最大值g（b）或g（a），
a=g（1）=0与a＞0矛盾；
综上所述不存在满足条件的a，b．

点评 解决本题的关键是读懂题意，理清题意归纳出规律，知自变量的取值范围[a，b]，值域[a，b]，求a、b，就是在[a，b]上，自变量x取何值时得最大值b，自变量x取何值时得最小值a，用到函数的单调性，所以以函数的单调性来分类进行求解．