Question

10．如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠ABS=45°，∠ABC=60°，M为AB的中点．
（1）求BC与平面SAB所成的角；
（2）求证：平面ABC⊥平面SCM；
（3）求SC与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据SA，SB，SC两两垂直，便知SC⊥平面SAB，从而得到∠SBC便是BC和平面SAB所成的角，根据条件可以得出△ABC为等边三角形，从而得到SB=SC，从而得出∠SBC的值；
（2）由M为AB的中点，便可得到AB⊥CM，AB⊥MS，从而根据线面垂直的判定定理得出AB⊥平面SCM，再根据面面垂直的判定定理得出平面ABC⊥平面SCM；
（3）要求SC与平面ABC所成角的正弦值，先找出这个角：可过S作SD⊥CM，从而可得到SD⊥平面ABC，∠SCD便是SC和平面ABC所成角，可设SA=1，这样可根据条件得出MS，CM，SC，从而根据面积相等求出SD，这样便可得出∠SCD的正弦值．

解答 解：（1）Rt△ABS中，∠ABS=45°；
∴SA=SB；
∴BC=AC；
又∠ABC=60°；
∴△ABC为等边三角形；
∴SA=SB=SC，设SA=1；
SC⊥SA，SC⊥SB，SA∩SB=S；
∴SC⊥平面SAB；
∴∠SBC便是BC与平面SAB所成的角，且∠SBC=45°；
即BC与平面SAB所成的角为45°；
（2）证明：M是AB中点；
∴AB⊥MC，AB⊥MS，MC∩MS=M；
∴AB⊥平面SCM，AB?平面ABC；
∴平面ABC⊥平面SCM；
（3）如图，过S作SD⊥MC，垂足为D；

由（2）知，平面ABC⊥平面SCM，平面ABC∩平面SCM=CM，SD?平面SCM，且SD⊥CM；
∴SD⊥平面ABC；
∴∠SCD为SC和平面ABC所成的角；
$MS=\frac{\sqrt{2}}{2}，CM=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
CM•SD=SC•MS；
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}•SD=1•\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$SD=\frac{1}{\sqrt{3}}$；
∴$sin∠SCD=\frac{SD}{SC}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
即SC与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查线面垂直、面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，直线和平面所成角的概念及求法，以及根据面积相等求直角三角形底边高的方法，正弦函数的定义．