Question

18．设命题p：实数x满足x²-2x+1-m²≤0，其中m＞0，命题q：$\frac{12}{x+2}$≥1．
（Ⅰ）若m=2且p∨q为真命题，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）m=2且p∨q为真命题，由命题P：x²-2x-3≤0为真命题，利用一元二次不等式解法可得解集；由命题q：$\frac{12}{x+2}$≥1为真命题，化为$\frac{x-10}{x+2}$≤0，转化为（x+2）（x-10）≤0，且x+2≠0，解出取并集即可．
（II）对于命题p：实数x满足x²-2x+1-m²≤0，其中m＞0，化为[x-（1-m）][x-（1+m）]≤0，可得解集A=[1-m，1+m]（m＞0）．得到￢p：∁_RA=（-∞，1-m）∪（1+m，+∞）．同理可得￢q：∁_RB=（-∞，-2]∪（10，+∞）．根据￢q是￢p的充分不必要条件，可得$\left\{\begin{array}{l}{1-m≤-2}\\{1+m≥10}\end{array}\right.$，但是等号不同时成立，解出即可．

解答 解：（I）m=2且p∨q为真命题，由命题P：x²-2x-3≤0为真命题，解得-1≤x≤3；
由命题q：$\frac{12}{x+2}$≥1为真命题，化为$\frac{x-10}{x+2}$≤0，解得-2＜x≤10．
∴实数x的取值范围是[-1，3]∪（-2，10]=（-2，10]．
（II）对于命题p：实数x满足x²-2x+1-m²≤0，其中m＞0，化为[x-（1-m）][x-（1+m）]≤0，解得1-m≤x≤1+m，记为A=[1-m，1+m]（m＞0）．
对于命题q：$\frac{12}{x+2}$≥1，解得-2＜x≤10，记为B=（-2，10]．
∵￢q是￢p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥-2}\\{1+m≤10}\end{array}\right.$，解得m≤3．
又0＜m，
∴实数m的取值范围是（0，3]．

点评 本题考查了一元二次不等式解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．