Question

7．已知函数f（x）=-2x³-3x²+12x+1在[m，1]上的最小值为-17，则m=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的最值，解方程即可．

解答 解：∵f（x）=-2x³-3x²+12x+1，
∴f′（x）=-6x²-6x+12=-6（x+2）（x-1），
由f′（x）＞0得-2＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-2．此时函数单调递减，
∴当x=-2时，函数取得极小值，
∵f（-2）=-19，f（x）_min=-17，
∴-2＜m＜1，
∴-2m³-3m²十12m+1=-17．
即m²（2m+3）-6（2m+3）=0，
（m²-6）（2m+3）=0，
解得m=-$\frac{3}{2}$或m=$±\sqrt{6}$（舍），
故答案为：-$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查函数最值的应用，求函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．