Question

13．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+2}$．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程；
（Ⅱ）求出导数，对a讨论，当0＜a≤2时，当a＞2时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间．

解答 解：f（x）的导数$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{2a}{{{{（x+2）}^2}}}$=$\frac{{{x^2}+（4-2a）x+（4-2a）}}{{（x+1）{{（x+2）}^2}}}$．
（Ⅰ）当a=0时，f（0）=0，切线的斜率k=f'（0）=1，
所以切线方程为y=x，即x-y=0．
（Ⅱ）当a＞0时，因为x＞0，
所以只要考查g（x）=x²+（4-2a）x+（4-2a）的符号．
由△=（4-2a）²-4（4-2a）≤0，得0＜a≤2，
当0＜a≤2时，g（x）＞0，从而f'（x）＞0，
f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞2时，由g（x）=0解得$x=a-2+\sqrt{{a^2}-2a}$．
当0＜x＜a-2+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞a-2+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
则函数f（x）在区间$（0，a-2+\sqrt{{a^2}-2a}）$单调递减，
在区间$（a-2+\sqrt{{a^2}-2a}，+∞）$上单调递增．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查运算能力，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．