Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=k-kaⁿ（a，k都是不为0的常数）是数列{a_n}为等比数列的（　　）

• A． 充分非必要条件
• B． 必要非充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 判断该数列是什么数列，可把通项公式求出，再进行判断，再根据充分条件和必要条件进行判断．

解答 解：S_n=k-kaⁿ=k（1-aⁿ）
①当a=1时，S_n=0，
且a₁=k（a-1）=0，
a_n=S_n-S_n-1=k（1-aⁿ）-k（1-a^n-1）=0，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=k（1-a^n-1）-k（1-a^n-2）=0，
∴a_n-a_n-1=0，
∴数列{a_n}是等差数列．
②当a≠1时，
a₁=k（a-1），
a_n=S_n-S_n-1=k（1-aⁿ）-k（1-a^n-1）=k（a^n-1-aⁿ），（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（1-a^n-1）-k（1-a^n-2）=k（a^n-2-a^n-1），（n＞2）
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=a，（n＞2）
∴数列{a_n}是等比数列．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=k-kaⁿ（a，k都是不为0的常数）推不出数列{a_n}为等比数列，
反过来，数列{a_n}为等比数列，也推不出S_n=k-kaⁿ，
故数列{a_n}的前n项和S_n=k-kaⁿ（a，k都是不为0的常数）既不是数列{a_n}为等比数列的充分条件，也是必要条件，
故选：D．

点评 本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义．