Question

16．已知函数f（x）=（ax-b）e^x（a≠0）．
①若f（x）≥f（0）恒成立，求f（1）的值；
②f（x）在（a，+∞）是单调减函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析 ①若f（x）≥-b恒成立，转化为求函数的最小值即可求f（1）的值；
②f（x）在（a，+∞）是单调减函数，则f′（x）≤0成立，即可求b的取值范围．

解答 解：①注意到f（0）=-b，故f（x）≥f（0）恒成立，故f（x）在x=0处取得最小值．
而f′（x）=（ax+a-b）e^x，
由f′（x）=0得ax+a-b=0的根为x=0（此时a＞0），
则a-b=0，f（1）=（a-b）e=0．…（6分）
②由①知f′（x）=（ax+a-b）e^x，
当a＞0时，由f′（x）＜0解得x＜$\frac{b-a}{a}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{b-a}{a}$）上递减，矛盾；则a＜0，
由f′（x）＜0解得x＞$\frac{b-a}{a}$，故a≥$\frac{b-a}{a}$，
b≤a²+a=（a+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
因此b≤-$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．