Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，a₃和a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且有S_n=

1-bn

2

（n∈N^*）
（1）求{a_n}和{b_n}的通项；
（2）若{a_n•b_n}的前n项和为T_n，且ax²+（a-1）x-

2

3

≤T_n对任意n∈N^*恒成立，试求x的取值集合，其中a∈R．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式、“当n=1时，b₁=S₁，当n≥2时，
b_n=S_n-S_n-1”即可得出数列的通项公式；
（2）利用等比数列的通项公式、“错位相减法”即可得出T_n，利用其单调性可得其最小值，则ax²+（a-1）x-

2

3

≤T_n对任意n∈N^*恒成立，?ax²+（a-1）x-

2

3

≤（T_n）_min=

1

3

，n∈N^*，对a分类讨论即可得出．

解答： 解：（1）由方程x²-14x+45=0，解得x=5或9．
∵a₃和a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且公差d＞0．
∴a₃=5，a₅=9，
∴

a1+2d=5 a1+4d=9

，解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
由S_n=

1-bn

2

（n∈N^*），当n=1时，b₁=S₁=

1-b1

2

，解得b₁=

1

3

．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

1-bn

2

-

1-bn-1

2

，化为

bn

bn-1

=

1

3

．
∴数列{b_n}是等比数列，∴bn=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
（2）a_nb_n=

2n-1

3n

．
∴T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，
两式错位相减可得：

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

2 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1

3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2+2n

3n+1

，
∴T_n=1-

1+n

3n

．
∵数列{T_n}单调递增，∴当n∈N^*时，T_n≥T₁=

1

3

．
∵ax²+（a-1）x-

2

3

≤T_n对任意n∈N^*恒成立，
∴ax²+（a-1）x-

2

3

≤（T_n）_min=

1

3

，n∈N^*，
∴ax²+（a-1）x-1≤0．
当a=0时，不等式化为-x-1≤0，解得x≥-1，此时不等式的解集为{x|x≥-1}；
当a≠0时，不等式化为a(x-

1

a

)(x+1)≤0，
①当a＜-1时，

1

a

＞-1，不等式的解集为{x|x≥

1

a

或x≤-1}；
②当a=-1时，

1

a

=-1，不等式的解集为R；
③当-1＜a＜0时，

1

a

＜-1，不等式的解集为{x|x≤

1

a

或x≥-1}；
④当a＞0时，

1

a

＞-1，不等式的解集为{x|-1≤x≤

1

a

}．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式、利用“当n=1时，b₁=S₁，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1”求数列的通项公式的方法、等比数列的通项公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．