Question

已知函数f（x）=

1

(x-1)2

+aln（x-1），a为常数．
（1）判断f（x）的单调性，并写出单调区间．
（2）当a=1时，证明：对x≥2的函数f（x）图象不可能在直线y=x-1上方．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，再分别讨论a＞0，a≤0时的情况，从而求出函数的单调区间，（2）令h（x）=f（x）-（x-1），通过求导得出h（x）在[2，+∞）上单调递减，从而h（x）≤h（2）=0，进而问题得证．

解答： 解：（1）f（x）=

1

(x-1)2

+aln（x-1），（x＞1），
∴f′（x）=

2-a(1-x)2

(1-x)3

．
当a＞0时，
令f'（x）＞0得：x＞1+

2 a

，x＜1-

2 a

（舍），
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜1+

2 a

，
∴当x∈（1，1+

2 a

）时，f（x）单调递减；
当x∈（1+

2 a

，+∞）时，f（x）单调递增．
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）递减，
综上所述，当a＞0时，
f（x）在（1，1+

2 a

）递减，在（1+

2 a

，+∞）递增，
当a≤0时，f（x）在（1，+∞）递减．
（2）证明：a=1时，f（x）=

1

(x-1)2

+ln（x-1），
令h（x）=f（x）-（x-1），
∴h′（x）=

2-x

x-1

-

2

(x-1)3

，
x≥2时，h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，+∞）上单调递减，
∴h（x）≤h（2）=0．
当a=1时，对x≥2的函数f（x）图象不可能在直线y=x-1上方．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，考查了灵活解决问题的能力．