Question

设f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：由已知得f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）=0，得x=-

2

3

，或x=1，由此利用导数性质求出x∈[-1，2]时，f（x）_max=f（2）=7，由题意知m＞f（x）_max，由此能求出结果．

解答： 解：∵f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，
由f′（x）=0，得x=-

2

3

，或x=1，
∵f（-1）=

7

2

，f（-

2

3

）=

157

27

，f（1）=

7

2

，f（2）=7，
∴x∈[-1，2]时，f（x）_max=f（2）=7，
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）_max=f（2）=7，
故答案为：（7，+∞）．

点评：本题考查实数取值范围的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．