Question

已知函数f（X）=

x2+a

ex

（x∈R）（e是自然对数的底数）．
（1）当a=-15时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[

1

e

，e]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）证明

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

对一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-15时，f'（x）=（-x²+2x+15）e^-x=-（x-5）（x+3）e^-x，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）f'（x）=-（x²-2x+a）e^-x，由题意得当

1

e

≤x≤e时，f'（x）≥0，从而x²-2x+a≤0恒成立，由此构造函数能求出a的范围．
（3）令a=1，得f'（x）=-（x²-1）²e^-x≤0，由此利用导数性质能证明

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

对一切n∈N^*恒成立

解答： （1）解：当a=-15时，f（x）=（x²-15）e^-x，
f'（x）=（-x²+2x+15）e^-x=-（x-5）（x+3）e^-x，
由f'（x）＞0，解得-3＜x＜5，
∴f（x）在区间（-3，5）上单调递增，
在区间（-∞，3），（5，+∞）上单调递减．…（4分）
（2）f'（x）=-（x²-2x+a）e^-x，
由题意得当

1

e

≤x≤e时，f'（x）≥0，
∴x²-2x+a≤0恒成立，
令g（x）=x²-2x+a，有

g( 1 e )≤0 g(e)≤0

，得a≤2e-e²，
∴a的范围是（-∞，2e-e²]．…（9分）
（3）证明：令a=1得f(x)=

x2+1

ex

，f'（x）=-（x²-1）²e^-x≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
对于任意k∈N*，都有k＞

1

2

，故有f(k)＜f(

1

2

)，
即

k2+1

ek

＜

5

4 e

⇒

n

k=1

k2+1

ek

＜

5n

4 e

，
∴

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4 e

对一切n∈N^*恒成立．…（14分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要注意导数性质、构造法和分类讨论思想的合理运用．