Question

如图，等腰Rt△ABC直角边的两端点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，若|AB|=2，则

OB

•

OC

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设∠OAB=θ．可得OB=ABsinθ=2sinθ，＜

OB

，

BC

＞=

π

4

+θ，BC=2

2

．利用

OB

•

OC

=

OB

•(

OB

+

BC

)=

OB

2+

OB

•

BC

即可得出．

解答： 解：设∠OAB=θ．
则OB=ABsinθ=2sinθ，＜

OB

，

BC

＞=

π

4

+θ，BC=2

2

．
∴

OB

•

OC

=

OB

•(

OB

+

BC

)
=

OB

2+

OB

•

BC

=(2sinθ)2+2sinθ•2

2

•cos(

π

4

+θ)
=4sin²θ+4sinθ（cosθ-sinθ）
=2sin2θ≤2．
当θ=

π

4

时，取等号．
因此

OB

•

OC

的最大值是2．
故答案为：2．

点评：本题考查了利用数量积、三角函数的单调性、两角和差的余弦公式、倍角公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．