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    如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

    (1)求椭圆C的方程；

    (2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

     

    （1）＝1.（2）见解析

    【解析】(1)【解析】
    由题意知b＝＝.

    因为离心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.

    所以椭圆C的方程为＝1.

    (2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①

    直线QN的方程为y＝x＋2.②

    (证法1)联立①②解得x＝，y＝，即T.

    由＝1可得＝8－4.

    因为

    ＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

    (证法2)设T(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝.

    因为＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.

    所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

     

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